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[数学]

马丁·加德纳:数学世界的无冕之王

一只虫子实名认证 发表于 2016-6-21 08:51 |查看: 49268|回复: 16|显示全部楼层 |阅读模式
撰文 科尔姆 · 马尔卡希(Colm Mulcahy,美国斯贝尔曼学院的数学教授)  
         达纳 · 理查兹(Dana Richards,美国乔治·梅森大学的计算机科学教授)
翻译 孟令磊

一个巧妙的数学谜题,就像一个高超的魔术,不仅能激发人们的兴趣,同时还能揭示数学真理,并推动重要问题的研究。至少,在马丁·加德纳(Martin Gardner)看来,数学谜题就是有着这样的魅力。马丁·加德纳这个名字,一直与《科学美国人》的传奇专栏——“数学游戏”(Mathematical Games)联系在一起,他曾为这一专栏撰稿达四分之一个世纪。他拥有独特的数学魔法技能,每月一次地为读者展示一个个重要而又奇妙的数学谜题,也正是因为这样,他有着来自全球各地的大量拥趸。读者中既有默默无闻的普通人,也有声名显赫的知名人士,他们将“数学游戏”专栏比喻为导师,正是这个专栏,指引他们走上了专业数学或者相关领域的道路。

加德纳为人谦逊。他既不追求各种奖项,也不热衷于名誉。即便如此,他仍写下了 100 多本书,书中涉及的内容广度令人惊讶,这些内容在科学与人文之间搭建起了一座桥梁。这些书引起了许多公众人物的关注和尊敬。获得过普利策奖的认知科学家候世达(Douglas Hofstadter)称赞他为“本世纪美国最伟大的智者之一”。古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德(Stephen Jay Gould)对他的评论是:“独树一帜的、最明亮的灯塔,他坚守着理性和科学,与围绕我们的神秘主义和反智主义对阵。”语言学家诺姆·乔姆斯基(Noam Chomsky)则这样描述加德纳对当代知识文化的贡献:“对于重要的高深问题,无论是探讨的范围、深度还是对问题的理解,他都是独一无二的”。

尽管在 20 世纪 80 年代初期,加德纳就不再为专栏定期撰稿,但他的卓越影响力一直延续到了今天。加德纳于 2010 年去世,生前他完成了很多本书,还写下了多篇综述文章,到现在,他的粉丝群跨越了几代人。读者们仍然会举行活动来庆祝他的生日,阅读“数学游戏”专栏做出一些新发现。对这一具有开创性意义的专栏来说,要表达我们的尊重与纪念,可能最好的方式就是再次阅读专栏。我们对加德纳的工作报以敬意,也许会让新一代人去思考,为什么到了 2014 年,趣味数学仍然重要。



在 1956 年 12 月份的“数学游戏”专栏中,加德纳展示了一种名为“六角折变体”的结构,这是用一张涂有不同颜色的纸条,折叠而成的一个平面六角结构。六角折变体可以多次扭转和铺平,从而显示 6 种不同图案。


从逻辑到六角折变体

加德纳在数学圈非常有名望,但从传统意义上来说,他并不是一名数学家。20 世纪 30 年代中期在芝加哥大学求学时,他主修的是哲学,这一专业使得他对逻辑很擅长,但缺乏数学训练(尽管他曾旁听了一门叫做“初等数学分析”的课程)。然而,他十分精通数学趣题。他的父亲是一位地理学家,向他介绍了在上个世纪之交非常有名的两位趣味数学题创造者——山姆· 劳埃德(Sam Loyd)和亨利·厄内斯特·杜登尼(Henry Ernest Dudeney)。15 岁开始,加德纳定期在一些魔术杂志上发表文章,在文章中他经常会探讨魔术和拓扑学之间相通的内容。拓扑学是数学的一个分支,主要研究图形在不被撕裂的条件下变化(如被延展、扭曲或者变形)时,其不变的性质。例如,一个有手柄的咖啡杯和一个甜甜圈的拓扑结构是相同的,因为它们均为具有一个洞的光滑曲面。

1948 年,加德纳搬到纽约市,在那里他和叶史瓦大学的数学教授耶谷提耳·金斯伯格(Jekuthiel Ginsburg)成为了朋友。金斯伯格还是《数学手稿》(Scripta Mathematica)的编辑,这是一本旨在向普通读者传播数学的杂志,每季度出版一次。金斯伯格有这样一个观点:“并不是非得成为画家才能欣赏美术作品,也并不是非得成为音乐家才能欣赏美妙的音乐。我们想要证明的是,一个人不必成为数学家,也能够领略到数学的形式与形态之美,甚至是一些抽象的概念。”在一个适当的时机,加德纳为杂志撰写了一系列数学逻辑方面的文章,看起来这似乎是受到了金斯伯格观念的影响。

1952 年,加德纳在《科学美国人》上发表了他的第一篇文章,探讨的是可以解决基本逻辑问题的机器。杂志编辑丹尼斯·弗拉纳根(Dennis Flanagan),以及在很多年前就已接管杂志的出版人杰勒德·皮尔(Gerard Piel),热切地希望能够刊登更多的数学相关的文章。1956 年,弗拉纳根和皮尔的同事詹姆斯·纽曼(James Newman)创作出版了《数学的世界》(The World of Mathematics)一书,该书十分畅销,这使得弗拉纳根和皮尔对这类文章内容更加感兴趣。同一年,加德纳寄给他们一篇关于六角折变体(hexaflexagon)的文章。六角折变体是一种折叠的纸质结构,这种结构具有独特的性质,魔术家和拓扑学家都已经对其展开了研究。这篇文章很容易就被录用了,正式刊登于当年 12 月份的杂志上。事实上,在这期杂志正式上市销售之前,加德纳就收到了邀请:每月为杂志撰写一篇同样风格的专栏文章。

加德纳最初撰写的文章都是非常初级的内容,但随着他和读者的理解水平的提高,探讨的数学内容逐减变得深奥。在某种意义上说,加德纳建立起了自己的某种社交网络,当然,通过这一社交网络传播内容,要依靠美国邮政,因此速度很慢。加德纳将自己获得的信息与大家共享。这些人原本处于隔离状态,加德纳的行动激励他们有了更多的研究和发现。从大学时代开始,他就有保存文档的习惯,因此保存了大量的、精心整理过的资料。通过自己建立的社交网络,加德纳将这些资料内容共享给大家,这让他的朋友圈逐渐扩大,同时朋友圈中的人也希望将自己的想法共享。任何给加德纳写信的人,几乎都得到了他详细的回复,他简直就像一个搜索引擎。在他的通信者和合作者中,有数学家约翰·霍顿·康韦(John Horton Conway)和佩尔西·戴康尼斯(Persi Diaconis),艺术家 M· C · 埃舍尔(M. C. Escher)和萨尔瓦多·达利(Salvador Dali),魔术师及怀疑论者詹姆斯·兰迪(James Randi),以及作家艾萨克·阿西莫夫(Isaac Asimov)。

加德纳的社交群体是多元化的,这体现了加德纳兼收并蓄的兴趣爱好——文学、魔术、理性、物理、科幻和哲学,都是他感兴趣的内容。他是专业化时代的博学者。在每一篇文章中,他都好像能用很好的人文故事,将文章主题内容讲述出来。文章内容会令很多读者联想起一些之前可能已被忽略的想法。比如在一篇主题为“Nothing”的文章中,加德纳讨论的内容远远超出了数学概念上的零和空集(没有任何元素的集合),并且从历史、文学和哲学的角度,探讨了“Nothing”这一概念。加德纳是一个非常会讲故事的人,因此读者们争相来阅读他的专栏。他很少为一篇文章只准备一个故事结局,相反,他会耐心地收集足够的材料,从而编织出一个内容丰富的故事,故事中会包含对问题的相关见解以及对未来研究的探究。他常常要花  20 天的时间来研究问题并写作。对于向公众传播数学问题来说,专栏作家比专家更具优势,因此他认为自己需要更加努力地学习。

加德纳善于将数学问题转化为易读、有趣的内容,从而推动读者进一步地探究这些问题。以只有高中文化的家庭主妇玛乔丽·赖斯(Marjorie Rice)为例,她利用在加德纳专栏学到的知识,发现了几种新型的完全嵌合五边形(将这些五边形像铺瓷砖一样拼合在一起,不会有任何缺口)。她写信告诉了加德纳,加德纳再将这一发现分享给数学家多里斯·沙特施奈德(Doris Schattschneider)来检验其正确性。加德纳的专栏催生了一大批新发现。1993 年,加德纳总结了 5 个读者反映最热烈的主题:索罗门· W · 戈洛姆(Solomon W. Golomb)的“多格骨牌”(polyomino),康韦的“生命游戏”(Game of Life),牛津大学罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)的非周期性平面铺砖法、RSA 加密和纽科姆悖论(Newcomb's paradox,见“纽科姆悖论:谁想成为百万富翁?”)

多格骨牌与生命游戏

这些谜题能够如此受欢迎,或许是因为,读者利用日常用品如棋盘、火柴棍、扑克牌或者废纸,在家中很容易就可以操作。1957 年 5 月,加德纳描述的戈洛姆的工作,就是这样一个实例。那时,戈洛姆刚刚研究了多格骨牌的性质。将多个全等正方形的边互相连接起来,构成的图形就是多格骨牌,二格骨牌有两个正方形,三格骨牌有 3 个,四格骨牌有 4 个,以此类推。在各种铺砖问题、逻辑问题和流行游戏(如俄罗斯方块之类的视频游戏)中,都会出现多格骨牌。读者们对这些形状都已熟知,但正如加德纳所说的那样,戈洛姆将此问题向前推进了一步,证明了“如何排列才能构成多格骨牌图案”的一些定理。

在康韦发明的“生命游戏”中,出现的一些图案就是多格骨牌,该主题刊登在 1970 年 10 月份的《科学美国人》上。这个游戏由一个包含若干方格子的二维矩形组成,每个格子内有一个细胞,细胞有“活”或“死”两种状态,而它们究竟是存活(可以增殖)还是死亡,要依照某种规则来决定。例如,周围有 2~3 个存活细胞时,这个细胞可以存活;周围没有细胞,或者有 1 个、4 个以及更多细胞时,这个细胞就会死亡。游戏在某种初始状态开始,然后这些细胞依照规则进化。“细胞自动机”(在一定规则下运转的细胞)可以在非常精细的层面上模拟复杂系统,而“生命游戏”就属于这一领域。康韦认为,他自己亲手设计的这个游戏是一台很小的双态自动机,在模拟复杂的进化性行为上,有着不可言喻的潜力。

在专栏发表后,“生命游戏”迅速引起了狂热的追崇。加德纳回忆当时的情形后说到,“全世界有计算机的数学家们都在编写生命游戏程序”。一些读者很快就做出了很多惊人的发现。数学家很早就知道,利用很少几个公理,就可以得到很多具有深远意义的定理,在上世纪 70 年代初,研究“生命游戏”的群体就已经亲身体验到这种神奇的魅力了。40 余年后,“生命游戏”仍在激发新发现:2010 年 5月,媒体报道了一种名为二阶染色体(Gemini)的新型图样,这种图样能够实现自我构建——在向一个倾斜方向移动的过程中,它可以自我复制并摧毁母体图样。而第一个可以克隆自身及规则的生命游戏复制体,也于 2013 年 11 月问世。


彭罗斯瓷砖与公共密钥

康韦还将“彭罗斯瓷砖”介绍给加德纳,这是数学家兼物理学家彭罗斯研究的一种非周期性的平面铺砖法。以此为内容写成的那期专栏文章,再次引起了轰动。这种瓷砖的特点是,包含两种不同形状的瓷砖,由于和两种玩具形状相似,这两种瓷砖分别被称为“风筝”和“飞镖”。如果每种瓷砖都可以无限量提供,通过不同的组合方式,这些瓷砖可以无空隙地覆盖无穷大的地板,这些组合方式显示了明显的非周期性特性。传统的瓷砖形状——正方形、三角形、六边形,可以以周期性的方式铺满地板。换句话说,铺好的地砖上存在很多类似的点,站在这些点上,你脚下的瓷砖形成的图样是完全相同的。但当“风筝”和“飞镖”组合时,或者其他两种或更多种彭罗斯瓷砖组合时,按照一定规则排列的时候,就不会出现这种周期性的图样。彭罗斯瓷砖拼成的图案十分优美,康韦绘制的一副瓷砖图案的草图,成为了《科学美国人》1977 年 1 月刊的封面。


“彭罗斯瓷砖”倍受追捧的主要原因是,可以生成“非周期性”的图案:如果有无数的瓷砖,可以利用它们无空缺地铺满地板,而且原始构型绝无重复。加德纳在1977年1月的专栏中介绍了彭罗斯铺砖法,在文中两种瓷砖被叫做“风筝”和“飞镖”。为了保证非周期性,瓷砖必须按照一定的规则铺设。加德纳把上边起始的构图组合叫做“无穷的星图”。

在此之后,研究彭罗斯瓷砖特性的群体取得了很多进展,比如发现了具有自相似性(self-similarity)的图样,这种图样在不同尺度上有着相似的结构,也能从分形角度来欣赏(分形也获得了广泛的关注,在很大程度是因为加德纳在 1976 年 12 月发表的专栏文章)。彭罗斯瓷砖还导致了准晶体(一种有序、非周期的结构)的发现。彭罗斯瓷砖竟然能与这些内容联系到一起,没有人会比加德纳更高兴,他评价到,“对于一个数学发现,可能最初看起来并没有什么实际价值,但最终却证明,大自然中早就存在这些规律了。这些结果就是完美的实例”。

1977 年 8 月,加德纳预见了另一个当代重要进展:“几十年后”,电子邮件将会出现在个人通讯中。基于这一预测,加德纳撰写了一篇向公众介绍 RSA 密码的专栏文章。RSA 密码是一种基于陷门函数(trapdoor function)的公共密钥加密系统,陷门函数的特点是,向一个方向计算很容易,但逆向计算则非常困难。20 世纪 70 年代中期,这种系统并不是新事物,但计算机科学家罗恩· 李维斯特(Ron Rivest)、阿迪· 沙米尔 (Adi Shamir)和伦纳德· 阿德尔曼(Leonard Adleman,RSA 就是以三位科学家名字的首字母命名的),利用大素数(prime number,仅能被 1 和自身整除的数)设计出了一种全新的陷门函数。对于两个足够大的素数乘积,要进行因子分解会非常困难,RSA 密码的安全性就是依赖这种困难性。

通过学术期刊发表研究结果之前,李维斯特、沙米尔和阿德尔曼写信给加德纳,希望能将这一发现迅速告知更多读者。加德纳十分清楚新发现的意义,并且一反常态地很快完成了专栏文章。他在文中向读者发出了一个挑战,请大家试着去解码一条信息,其中需要分解一个 129 位的整数,这在当时是一个不可能完成的任务。提出挑战之前,加德纳智慧地引用了诗人埃德加·爱伦·坡(Edgar Allan Poe)的话作为引言:“我们可以断言,目前的人类智慧,不能创造出一个人类智慧不能解码的密码”。事实也的确如此,仅仅 17 年后,一个庞大的合作组,靠着 600 多名自愿者和 1 600 台计算机,最终完成了加德纳的挑战,揭示了编码信息的内容:“神奇词语是神经质的鱼鹰。”RSA 挑战持续了很多年,直到 2007 年才结束。

后加德纳时代

1980 年,加德纳决定结束专栏写作,专注于其他的写作计划。《科学美国人》迅速找到了一位接任者:候世达。他完成了25篇专栏文章,取名“文字游戏”(Metamagical Themas)——这是数学游戏(Mathematical Games)的变形词(Metamagical Themas 与 Mathematical Games 两个单词组成字母一样,但顺序不同——译者注)。候世达的很多文章都是讨论人工智能,这是他的专业领域。这之后,A·K·德威德尼(A. K. Dewdney)接替了候世达,在7年时间里这一专栏成为了“计算机娱乐”(Computer Recreations)。随后的10年是伊安·斯图尔特(Ian Stewart)的“数学娱乐”(Mathematical Recreations)专栏。再后来丹尼斯· 萨萨 (Dennis Shasha)开设了很长时间的“头脑大冒险”(Puzzling Adventures)专栏,专栏内容基于计算和算法原理。斯图尔特曾评论到,“我们确实在努力尝试复制这一专栏的精神:以游戏的形式将重要的数学思想呈现给读者”。

过去20年里,这一专栏的精神在加德纳集会(Gathering 4 Gardner)上得到了延续。该会议每两年举办一次,仅限受邀人士参加。数学家、魔术师和数学谜题爱好者聚集在一起,希望通过数学游戏继续分享各种内容。加德纳本人参加了最初的两届会议。近些年,会议参加者的范围逐渐扩大,既有一些老朋友,如戈洛姆、康韦、埃尔温· 伯利坎普(Elwyn Berlekamp)、理查德· 盖伊(Richard Guy)和罗纳德·格雷厄姆(Ronald Graham),也有冉冉升起的学术新星,如计算机科学家埃里克·德迈纳(Erik Demaine)和视频专家韦·哈特(Vi Hart),还有一些非常年轻的血液——极具才华的十几岁的年轻人,如尼尔·比克福德(Neil Bickford)、朱利安·汉斯(Julian Hunts)和伊桑·布朗(Ethan Brown)。2010年加德纳去世之后,为表示对他的敬意,全球各地每年10月都会举办纪念派对,任何人都可以参加或举办这类活动。

尽管加德纳已经离开,但时至今日,我们仍有很好的理由去从他的工作中吸取灵感,去支持趣味数学。关注益智游戏和相关活动,经常会获得重要发现,正如本篇文章介绍的那些内容。加德纳的每一篇文章,几乎都引发了爱好者和专业人士的热烈讨论。他的大量专栏文章现在都可以扩展成专业书籍,这些书籍甚至可以塞满整个书架。此外,从数学的角度去考虑问题,对于培养思路的条理性和严密性是非常有价值的。加德纳认为趣味数学不仅仅是一种智力游戏,而是通往更广阔数学成就的途径。

1998 年,加德纳在生命的最后阶段,在《科学美国人》上刊登了一篇回顾性的文章,他思考到,“趣味数学和严肃数学之间的界限是很模糊的……40 年来,我一直在竭尽全力说服教育工作者,趣味数学应该纳入正规的教学课程。在教学中应该定期介绍趣味数学,这种方式能引发学生对数学的兴趣。但到目前为止,这方面的改革还没有什么进展”。

如今,互联网上有着大量的数学相关的应用、教程和博客以及社交媒体,它们能以比加德纳更快的速度,将那些志同道合的爱好者们联系起来。但这种速度可能已有了下降的趋势:对于现今基于网络的交流来说,也许很容易得到“有意思!”这样的快速回应,但只有经过仔细思考,才能真正有所收获,发现让我们感到惊奇的东西。我们相信,加德纳专栏成功的一部分原因,是他和他的读者们,不厌其烦地去交流各种思考细节和经过深思熟虑得到的答案。在现在这样一个缺乏耐心的时代,也许只有时间可以证明,新的智力游戏的群体,能否传承加德纳的使命,激励后来的人们得到新的见解和发现。

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来次自我测验吧

趣味数学题分为许多大类,这些难题吸引了各类人才来求解。其中一些谜题是十分经典的,我们选取了其中一些介绍给大家。

一些谜题仅仅需要基本推理就能解出。以一道脑筋急转弯为例:在一座建筑的一层有 3 个开关,三层有 1 个灯泡,3 个开关中只有 1个 能控制这个灯泡。另外两个开关没和任何东西相连。你可以把这些开关置于任意一种状态,然后去三楼确认一下灯泡状态。在不离开三楼的情况下,你能判断哪个开关在控制这个灯泡吗?只有一次尝试的机会。

算术密码问题更难一些,能够更好地检验益智游戏玩家的能力。在这类问题中,每个字母对应一个单一的数字。例如下图中的求和计算,你能算出每个字母对应的数字,从而使算式成立吗?


可视化谜题有助于求解几何问题。做一个底面为正方形、4 个侧面为等边三角形的实心金字塔,再做一个实心四面体,四面体的 4 个面与金字塔侧面的三角面相同。将金字塔的一个三角面和四面体的一个三角面粘贴在一起。最终形成的多面体有多少面?结果并不是 7 个!

游戏玩家们也像数学家一样,有时必须接受一些难题挑战。这些挑战也许能够反映普遍问题,也许要求严密的逻辑证明。以“连续等角多边形”这类多边形为例。这类多边形的所有相邻两边都成直角,边长逐步增长:1、2、3、4,以此类推。最简单的等角多边形有 8 个边,边长分别为 1~8,如下图所示。这是已知的连续等角多边形中,唯一能够铺成平面的形状。当然等角多边形还有很多。你能证明它们的边数一定总是 8 的倍数吗?



在许多难题中都会出现国际象棋的规则,包括“无法攻击的皇后群体”(unattacked queens)这一系列问题。试想一下,在一个 5×5 的棋盘上有 3 个白皇后和 5 个黑皇后,你能将它们合理排列,从而使这两种颜色的皇后都不能攻击对方吗?如果排除对称和旋转情况,答案只有一种。

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纽科姆悖论:谁想成为百万富翁?

马丁·加德纳在一份 1969 年的报纸上,读到哲学家罗伯特·诺齐克(Robert Nozick)撰写的文章,其中提到了一个名为“纽科姆悖论”(Newcomb's paradox)的著名问题。加德纳将这一问题作为了 1973 年 7 月和 1974 年 3 月的专栏主题。这一由理论物理学家威廉姆·纽科姆(William Newcomb)创造的思想实验,描绘了确定性和自由意志的神秘性,而且至今仍是哲学家激烈辩论的内容。

游戏中有玩家和预言家。预言家包括超智能的外星人、巫师和无所不知的神灵,他们具有预测玩家行为的天赋。玩家感知不到预言家的预测内容。在玩家面前有两个箱子:一个箱子中始终装有 1 000 美元,记为 A 箱,另外一个箱子中可能装有 1 000 000 美元,记为 B 箱。玩家可以选择只带走 B 箱,或者把两个箱子都带走。游戏开始前,预言家会预测玩家的选择。如果预言家认为玩家会只拿箱子 B,那么这个箱子就含有 1 000 000 美元的奖金。如果预言家认为玩家会拿走两个箱子,箱子 B 中就什么都没有。

悖论就这样产生了,要赢得最多的奖金,有两种相反的思考策略,但这两种策略看起来都是合理的。第一种认为,不用考虑预言家的预测,拿走两个箱子始终能获得更多奖金。如果预言家预测玩家会拿走两个箱子,玩家选择两个箱子会赢得 1 000 美元,只选择 B 箱获得 0 美元(见下表)。如果预言家预测玩家会只拿走B箱,玩家选择两个箱子就赢得 1 001 000 美元;只选B箱奖金少一点(1 000 000美元)。



另外一种观点认为,最好的选择是永远只拿 B 箱。他们的理由是,玩家的选择和预言家的预测不一致的情况,是应该忽略的,因为两者不一致时说明预言家出错了,但按定义所说,这些预言家是不可能犯错的。选择最后就变成了拿走两个箱子得到 1 000 美元,而只拿 B 箱会得到 1 000 000 美元。

加德纳的读者们做出了大量的评论,详细描述了各种各样的结果,但在哪种策略更好的问题上,仍无结论。诺齐克在最初的报道中是这样评论的,“对几乎每个人来说,如何做出选择都是完全清楚和明显的。棘手之处在于,在这一问题上,人们几乎会分为人数相等的两方,每一方中都有大量的人认为,对方的选择是愚蠢的。”

虚心学习 发表于 2016-9-24 19:41 显示全部楼层
很不错
男人、必自强 发表于 2016-9-24 19:49 显示全部楼层
楼主是超人
1084268272 发表于 2016-9-24 19:46 显示全部楼层
好帖就是要顶
孤山野 发表于 2016-9-24 19:01 显示全部楼层
真心顶
荷叶碧兰 发表于 2016-9-24 19:02 显示全部楼层
不错不错
孤山野 发表于 2016-9-28 23:24 显示全部楼层
论坛有你更精彩!
little薄荷 发表于 2016-9-29 10:35 显示全部楼层
论坛有你更精彩!
男人、必自强 发表于 2016-9-29 10:39 显示全部楼层
谢谢您的分享!
孤山野 发表于 2016-9-29 18:10 显示全部楼层
谢谢您的分享!
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