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哥德巴赫猜想表法个数的两种渐近公式

2017-5-26 09:32| 发布者: |原作者: 张春山|来自: 科学智慧火花

摘要: Goldbach猜想是解析数论领域中的一项重大课题,自1742年提出以来,迄今仍未得到证明。英国数学家Hardy和Littlewood曾提出过一个著名的猜想,即对于每一个充分大的偶数,其Goldbach猜想的表法个数或素数对的个数(双 ...

Goldbach猜想是解析数论领域中的一项重大课题,自1742年提出以来,迄今仍未得到证明。英国数学家Hardy和Littlewood曾提出过一个著名的猜想,即对于每一个充分大的偶数,其Goldbach猜想的表法个数或素数对的个数(双记,下同)由以下渐近公式给出:

其中,第一个连乘积取过所有奇素数,第二个连乘积取过的所有奇素因子。

尽管这一猜测性的结果得到了广泛认同并对Goldbach猜想的研究起到了实质性的推动作用,但本研究发现,Goldbach猜想的表法个数其实还存在另外一种同样重要的渐近公式。

1.筛法与其应用

假定为任一不小于6的有限偶数,命,取,如果用表示连续的素数之积,则

.                                                                         (1)

容易看出,末项不大于、通项公式为

的集合是两个首项与公差互素的逆序等差数列。

一般地,在集合个元素中将奇素数3、5、…、的所有倍数逐次分离出去之后,其剩余元素的总数可用下式表示

.                                                        (2)

取到时,由式(2)得

.                                                                     (3)

时,根据Mertens定理,由式(3)可得

.                                                                (4)

式中,为Euler常数,其数值为:

定义.若双等差数列全集

称为Goldbach集合。

若属于集合的某一元素中的两个整数或有序数对均是素数,即称为素数对。显而易见,偶数所含的素数对皆存在于该集合中。

同上,在集合个元素中将含有奇素数3、5、…、所有倍数的元素逐次分离出去之后,其剩余元素的总数可用下式表示

.                                             (5)

式中:表示整除表示不整除,下同)。

取到时,由式(5)得

.                                                                   (6)

一般地,当取到时,由于集合的剩余元素中仍存有一定量的合数,故集合的剩余元素不可能完全是素数对。因此,当偶数较小时,式(6)虽能得到较为准确的计算结果,但并不能以此做为Goldbach猜想表法个数的渐近公式。

2.素数分布

由于集合是互为逆序的等差数列,故其元素中均有个奇素数。就集合的剩余元素而言,当中不大于的素数被逐次分离出去的同时,中不小于的素数也被分离了出去,故的剩余元素中均有 个奇素数。如果用分别表示的任一剩余元素中两个整数奇素数分布的个数,则二者的平均值可统一用下式表示

.                                                                 (7)

其中,

3. Hardy-Littlewood公式

表示集合的任一剩余元素中素数对的个数,则

.                                                                (8)

如果用表示集合被分离出去的元素中素数对的总数,对式(8)进行求和运算,取,并注意到式(2)、式(5)和式(7),则当取到时,可得

.                                          (9)

如果用表示不大于的奇素数个数,则式(9)可以简化为

.                                                         (10)

由式(10)可以推出

.                                                 (11)

时,由式(11)可得

.                                                (12)

对于)的一类偶数,由式(10)可推出Goldbach猜想表法个数的上界公式

.                                                      (13)

式中:为Euler函数(下同)。

时,由式(13)可得

.                                                                  (14)

对于或为大于的素数)的各类偶数,由于),故由式(10)可推出Goldbach猜想表法个数的下界公式

.                                                     (15)

时,由式(15)可得

.                                                       (16)

4.新型公式

对于集合的任一剩余元素,若其中的素数对个数以表之,合数对个数以表之,其余数对个数以表之,则显然有

.                                                       (17)

根据三者与之间的关系,可以推出

.                                               (18)

将式(18)代入式(17),并整理得

.                                              (19)

如果用表示集合被分离出去的元素中素数对的总数,对式(19)进行求和运算,取,并注意到式(2)、式(5)和式(7),则当取到时,由于,故得

.                    (20)

如果用表示不大于的奇素数的个数,则式(20)可以简化为

.                                                 (21)

时,由式(21)并注意到式(3)和式(4),可得

.                                                     (22)

对于)的一类偶数,可直接由式(21)推出Goldbach猜想表法个数的上界公式

.                                             (23)

时,由式(23)可得

.                                                                 (24)

对于或为大于的素数)的各类偶数,由于),故由式(21)可直接得到Goldbach猜想表法个数的下界公式

.                                              (25)

时,由式(25)可得

.                                                          (26)

如果将式(20)中的花括号打开,则其第一项为集合的剩余元素中素数的总数,第二项为集合的剩余元素的总数,由于二者之差大于0,故根据鸽笼原理,Goldbach猜想表法个数出现断崖式下跌至0的情况不可能发生。

以上两种公式均可准确地描述Goldbach猜想表法个数的分布规律,可以相互印证。总的来说,当偶数较小时,新型公式略微小于Hardy-Littlewood公式的计算结果;当偶数趋近于无穷大时,二者之比为。因此,就寻求Goldbach猜想表法个数的下界而言,前者优于后者;但就寻求Goldbach猜想表法个数的上界而言,后者优于前者。

5.结论

本研究结果对Goldbach猜想的证明具有一定的参考价值,同时对Polignac猜想与孪生素数猜想、Sophie German素数猜想乃至生素数猜想等数学难题的解决也有一定的借鉴意义。

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